Mai 032018
 

Introduction : le prestige des sciences démonstratives (formelles)

Parmi toutes les sciences, il en est une qui possède un prestige inégalé, c’est la science mathématique. Ne va-t-on pas jusqu’à dire qu’une discipline n’accède réellement au statut scientifique que si elle devient mathématisable ? Les mathématiques apparaissent ainsi comme la science des sciences.

Donnons quelques exemples de ce prestige.

  1. Platon avait fait inscrire au-dessus de l’entrée de l’Académie « que nul n’entre ici s’il n’est géomètre ». Dans le texte de La République (texte 1 page 243) que l’on a pris l’habitude d’appeler « la ligne de la connaissance » (509d-511e), nous verrons (dans le § 1221) que l’accès au monde intelligible des idées commence par le monde de la raison discursive, celle qui fait des démonstrations à la différence de la raison intuitive qui contemple les idées du Bien en soi, du Vrai en soi, du Beau en soi ; autrement dit, la raison mathématicienne précède la raison philosophique. On peut renvoyer à d’autres textes de Platon pour signaler cette préférence accordée aux mathématiques : au Timée, dans lequel Platon décrit l’activité d’un Démiurge qui crée le monde à l’aide de cercles (sans que pour autant il faille accorder à Platon l’idée que les mouvements des planètes se rapprochent des coniques – pour cela, il faudra attendre Kepler). On peut aussi faire attention au Ménon, dans lequel l’exemple que Socrate utilise pour démontrer sa thèse de la réminiscence, c’est celui de l’irrationalité de la diagonale d’un carré dont le côté est une unité.
  2. Chez Descartes, dont la célébrité vient autant de ses travaux mathématiques que de ses oeuvres philosophiques (le repère cartésien est plus connu encore que le cogito cartésien), ce sont les mathématiques qui fournissent le modèle de la méthode, de toute méthode scientifique (texte 4 page 246). La géométrie fournit évidemment un idéal pour la déduction mais la résolution analytique d’une équation peut fournir aussi le modèle d’une division des difficultés.
  3. Enfin, il a toujours existé comme un mysticisme du nombre. Pythagore, dont la philosophie a influencé Platon, développait avant tout une religion du nombre. On peut penser au rôle que certains nombres, le 7, le 12 par exemple, jouent dans la Bible. Il y a aussi cette branche de l’astrologie qui s’appelle la numérologie.

1- Pouvoir et limites des sciences démonstratives.

(a) Ce privilège accordé aux mathématiques se laisse décrire par trois traits :

  1. L’idéal de vérité : que la vérité soit une, cela se sait avant tout en mathématiques où il n’y a pas de place dans un calcul pour deux résultats différents.
  2. L’attrait de la déduction : le 17° siècle est souvent appelé le « siècle de la méthode » sans qu’il soit vraiment précisé s’il s’agit d’une méthode qui s’appuie sur l’expérience, ainsi que le demandait Bacon dans son Novum Organum et telle que l’a pratiquée Galilée par exemple dans sa célèbre expérience du plan incliné pour arriver à déterminer la loi de la chute des corps, ou s’il s’agit d’une méthode qui s’inspire avant tout des raisonnements mathématiques ; mais, d’une façon générale, le 17° siècle va déduire. C’est Descartes qui, le premier, souligne la puissance des mathématiques. D’abord dans sa géométrie mais aussi dans sa philosophie (voir la présentation de la Deuxième réponse aux Objections adressées aux Méditations que Descartes fait « à la manière des géomètres », more geometrico. Spinoza compose l’Ethique sur le même modèle. Leibniz dégage la logique de l’influence aristotélicienne, qui construisait sa théorie du syllogisme à partir d’une réflexion sur les règles de la discussion, quand il la ramène à un calcul, avec l’espoir de produire une langue qui permettrait de calculer les idées (texte 7 page 249).
  3. L e mystère de la créativité : il est facile de le faire apparaître si on oppose comme le fait Bergson l’esprit et la matière. Selon lui, la matière se caractérise par la nécessité alors qu’au contraire, c’est la liberté qui définit le mieux l’esprit. Or, à partir d’une telle opposition, les mathématiques pose un paradoxe car si elles sont bien produites par l’esprit (ce n’est pas dans la nature que l’on voit que 2+2=4, mais c’est parce que 2+2=4 que l’on peut compter des choses dans la nature), ce qu’elles produisent c’est de la nécessité (il n’est pas possible que 2+2 fasse jamais autre chose que 4, du moins dans le système mathématique que l’on nomme arithmétique décimale). Que, si Dieu existe, il puisse créer de la nécessité par la seule puissance de son esprit, cela est possible mais l’homme n’est pas Dieu ; ou, pour le dire autrement, il y a quelque chose de divin dans la créativité des mathématiques.

(b) La question est : les mathématiques méritent-elles ce privilège ? Ne faut-il pas remettre en question chacun de ces trois traits.

  1. La vérité mathématique est-elle une vérité absolue ? Au moins, sachons tout de suite que si 2+2=4 n’est pas absolument vrai ce n’est pas, comme « on » le croit et le dit souvent, parce que les résultats mathématiques seraient conventionnels : dire que la vérité mathématique n’est pas absolue, ce n’est pas dire pour autant qu’elle peut varier au gré des conventions. Qu’est-ce que qu’une vérité mathématique ? Et, plus important, encore comment définir la vérité si la vérité mathématique n’est pas une vérité absolue ? Qu’est-ce que je veux dire quand je dis qu’il est vrai que 2+2=4 ?
  2. Le problème du commencement de la déduction : si ce qui est vrai l’est parce qu’il est déduit, il faut remonter les chaînes de la déduction jusqu’à éprouver la solidité du point de départ. La vérité de la déduction se fonde sur la vérité du commencement.
  3. Il se peut que la créativité des mathématiques excède toute possibilité de contrôle : on crée des systèmes mathématiques sans qu’il n’y ait plus la possibilité d’en contrôler la validité tout simplement parce que les objets mathématiques ainsi créés dépassent les limites de notre intuition symbolique. C’est le cas peut-être dès que les mathématiques touchent à l’infini. Peut-on vérifier une opération si la procédure est une itération infinie ? C’est le problème de la vérification en mathématiques qui se pose maintenant : vérifier, c’est soit confronter un énoncé avec les faits (ce qui rarissime en mathématiques et encore seulement dans la mesure où le fait en question est déjà quelque chose de mathématique), soit examiner une chose pour voir si elle est telle qu’elle doit être. Dans les deux cas, vérifier sous-entend qu’il y a quelque chose sur quoi travaille, s’applique le raisonnement mathématique. Qu’est-ce que ce quelque chose ? Que fait-on quand on dit qu’on fait des mathématiques ?

2- Les mathématiques sont-elles vraiment des sciences ?

21- Ce que c’est que démontrer : la déduction mathématique est un formalisme.

Textes 9 page 250 et texte 10 page 251.

22- Les mathématiques comme langue de la physique.

La science devint moderne le jour où elle découvrit que les lois de la nature pouvait se formuler mathématiquement. Si ce sont les grecs, les physiciens ioniens, qui les premiers ont affirmé que la nature obéissait à des lois, ce sont les physiciens Kepler et Galilée qui ont su ajouter que ses lois devaient s’exprimer mathématiquement. Aristote, dans une cosmologie qui voyait dans la Terre le centre du monde, affirmait que le lieu naturel du lourd, c’est le bas et en déduisait que la distance d’un mouvement était proportionnel au temps, que le vide n’existait pas… C’est dans le même geste de révolution scientifique que Galilée remet le Soleil au centre d’un univers qui cesse d’être clos pour devenir infini, et calcule l’équation mathématique de la chute d’un corps dans le vide : « La nature est écrite en langue mathématique et ses caractères sont des triangles, des cercles et d’autres figures géométriques sans l’intermédiaire desquelles il est humainement impossible de comprendre un seul mot », proclame Galilée.

La science contemporaine n’a même plus besoin de faire appel à l’hypothèse d’un Dieu qui aurait chiffré le monde physique pour y installer un ordre divin. Si les mathématiques sont bien une langue, ce n’est plus une langue divine mais plus simplement et moins métaphysiquement la langue que l’homme emploie pour interroger la nature. Il n’y a donc pas de mystère si la nature répond aux questions scientifiques par des lois mathématiques : c’est parce que les questions sont mathématiques que les réponses le sont aussi !

« Les mathématiques constituent pour ainsi dire le langage à l’aide duquel une question peut être posée et résolue » ; « Les formules mathématiques ne représentent plus la nature mais la connaissance que nous en possédons », écrit Heisenberg dans La nature dans la physique contemporaine (1962, traduction française).

C’est donc parce que nous construisons mathématiquement nos interrogations sur la réalité qu’elle nous paraît obéir aux mathématiques. Le réel que le scientifique étudie n’est pas donné, c’est un artifice de la rationalité scientifique. Texte d’Albert Einstein, page 350/230 : la vérité objective comme « limite idéale » de la connaissance scientifique.

23- Les deux réels.

  • Comment se fait-il que la physique, science du concret, se soumette aux mathématiques, science de l’abstrait
  • Comment se fait-il que la matière obéisse à des lois mathématiques qui sont de pures inventions de l’esprit ?

Quoi qu’il en soit, n’attend-on pas des énoncés de la science qu’ils nous révèlent la réalité du monde ? Ainsi naïvement posée, la question ne saurait avoir qu’une réponse arbitraire, au gré des préférences idéologiques et des préjugés du répondeur. Il est assez clair cependant que, selon le sens commun de l’homme moderne, la réponse serait en gros affirmative, au motif qu’il voit bien les performances accomplies par les applications des savoirs scientifiques. Mais une réponse plus élaborée s’impose à coup sûr. Pour en préciser le sens, je propose de distinguer deux acceptions du « réel ». C’est en premier lieu le vécu de chacun, avec la charge de subjectivité dont on ne peut totalement le défaire. C’est alors un réel immanent à l’expérience individuelle, quoique partiellement communicable, et se prêtant dans une certaine mesure à une distinction d’avec différents modes de la rêverie et de l’imaginaire. Exiger de la science qu’elle traduise directement en concepts cette réalité-là serait lui imposer une tâche indéfinie et même contradictoire, puisque pour une part qui lui est essentielle, l’expérience du vécu échappe à la formulation dans un système articulé de symboles, alors qu’il n’est de science, au contraire, qu’exprimée dans de tels systèmes.

L’autre acception du réel le pose comme transcendant relativement à nos expériences individuelles, du reste accessible ou non par quelque espèce de connaissance, exprimable ou non au moyen d’énoncés dans un système symbolique. La transcendance supposée de ce réel assure cependant que la saisie collective ne soit pas a priori impossible, et c’est bien ainsi que le conçoit le sens commun. Mais toutes la différence entre les points de vue vient alors d’hypothèses concernant les modes d’accessibilité de ce réel transcendant. Selon ces hypothèses, la connaissance scientifique peut ou ne peut pas l’atteindre, n’en saisit que l’apparence ou au contraire la complète effectivité. Cependant, si la science doit, par ses énoncés vérifiés, atteindre le réel, ce ne peut être en tout cas qu’un réel de ce second genre, et c’est assurément ce dont il nous faudra plus à fond discuter.

Cette distinction, que G.G. Granger propose dans son essai sur La vérification, a l’élégance d’accorder quelque pertinence à l’intuition platonicienne selon laquelle le monde de la connaissance ne peut être le monde de l’empirie (=le monde dont on a l’expérience par opposition au monde où l’on fait des expérimentations), tout en maintenant les résultats que nous avions dégagé sur la nature des êtres mathématiques.

Un second avantage de cette distinction, c’est qu’elle recentre mieux les questions du début. Il ne s’agit plus de se demander pourquoi le monde vécu est adéquat au système de la connaissance mathématique, mais seulement de rechercher la nature du lien entre la pensée mathématique et le réel transcendant : dans les deux cas, nous sommes déjà dans l’ordre de la connaissance.

Lire texte 14 page 239.

 

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Contrôle des connaissances

  1. Quels sont les sens de la « démonstration » ?
  2. Qu’est-ce qu’une science formelle ?
  3. D’où vient la vérité d’un système axiomatico-déductif  ?
  4. Qu’est-ce qu’une tautologie ?
  5. Alors finalement, les mathématiques sont-elles vraies ?
  6. Pourquoi le réel peut-il être mathématisé ?
  7. Pourquoi critiquer l’induction ?
  8. Connaître les tables de vérité pour le « et », le « ou » et le « implique ».

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